Benjamin COLLAS
benjamin.collas@telaxo.com

Mi-101           Mathematica	          2004-2005
Exercices fonctions réelles et suites de fonctions

Continuité et dérivabilité

Exercice 1

Quelle condition imposer à a et b pour que la fonction f1 suivante soit continue ?

({{f1:, ℝ, ⟶, ℝ}, { , x, ↦, a*sin (x)+cos(x) si x<(π/2)}, { ,  ,  , π-x si x∈[(π/2), π]}, { ,  ,  , (x^2) + bsinon}})

Exercice 2

1) Prolonger en 0 la fonction f2 par continuité.

({{f2:, ℝ, ⟶, ℝ}, { , x, ↦, (x^2)sin((1/x)) si x≠0}})

2) La fonction prolongée est-elle dérivable en 0 ?

3) La dérivée est-elle est continue en 0 ?

Suites de fonctions

Exercice 1

1) Définir et tracer quelques éléments de la suite de fonction (Subscript[((Subscript[g, n])(x)), ℕ])suivante. Conjecturer la fonction limite puis vérifier votre conjecture par le calcul.

({{(Subscript[g, n]):, [0, 1], ⟶, [0, 1]}, { , x, ↦, (((n^2) 
                x)/(((1  +  (n^2) (x^2)))^2))}})

2) Calculer (Subscript[I, k])=(∫_0^1)(Subscript[g, k])(t) dt. En déduire la valeur de  (lim_(k → ∞)) (Subscript[I, k]). 
Quelle réaction de prudence en déduisez vous ? (on utilisera l'option Assumptions).

Exercice 2

1) Définir et tracer quelques élément de la suite de fonction (Subscript[((Subscript[f, n])(x)), ℕ]) suivante. Conjecturer la fonction limite puis vérifier votre conjecture par le calcul.

({{(Subscript[f, n]):, [-1, 1], ⟶, ℝ}, { , x, ↦, (Sqrt[(x/(1 + (((nx))^2)))])}})

2) Calculer la valeur de la dérivée en 0 de (Subscript[gg, k]). En déduire la limite de cette valeur. 
Quelle mesure de prudence cela vous inspire-t-il ?

Exercice 3

1) Définir et tracer quelques élément de la suite de fonction (Subscript[((Subscript[h, n])(x)), ℕ]) suivante. Conjecturer la fonction limite puis vérifier votre conjecture par le calcul 
(on utilisera les fonctions Assuming  et Element).

({{(Subscript[h, n]):, ℝ, ⟶, ℝ}, { , x, ↦, (Sqrt[(1/( (n^2))) +  (x^2)])}})

2) Calculer la valeur de la dérivée en 0 de (Subscript[h, n])(x). En déduire la limite de cette valeur lorsque n tend vers l'infini. Quelle mesure de prudence cela vous inspire-t-il ?